Question

【題目】如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．

（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D，E兩點的坐標；

（2）如圖2，若AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE平行線交DE于點N．求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數關系式；當t取何值時，s有最大值，最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點M的坐標？

Answer 1

【答案】（1）D（0，2.5），E（2，4）；（2）S =﹣0.5t2+2.5t，當t=2.5時，S矩形PMNE有最大值；（3）t=2.5或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，M點的坐標為（2.5，1.25）或（5﹣2，）．

【解析】試題分析：（1）根據折疊的性質可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進而可求出CE的長，也就得出了E點的坐標．在直角三角形CDE中，CE長已經求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點的坐標．

（2）很顯然四邊形PMNE是個矩形，可用時間t表示出AP，PE的長，然后根據相似三角形APM和AED求出PM的長，進而可根據矩形的面積公式得出S，t的函數關系式，根據函數的性質即可得出S的最大值及對應的t的值．

（3）本題要分兩種情況進行討論：

①ME=MA時，此時MP為三角形ADE的中位線，那么AP=，據此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點的橫坐標為A點橫坐標的一半，縱坐標為D點縱坐標的一半．由此可求出M的坐標．

②當MA=AE時，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據折疊的性質，此時AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標．

試題解析：

（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE==3．

∴CE=2．

∴E點坐標為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD=2.5．

∴D點坐標為（0，2.5）．

（2）如圖②∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

又知AP=t，ED=2.5，AE=5，PM=0.5t×2.5=0.5t，

又∵PE=5﹣t．

而顯然四邊形PMNE為矩形．

S矩形PMNE=PMPE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；

∴S四邊形PMNE=﹣0.5（t﹣2.5）2+ ，

又∵0＜2.5＜5．

∴當t=2.5時，S矩形PMNE有最大值．

（3）（i）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點，

∴t=AP=0.5AE=2.5．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點．

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，

∴當t=2.5時，（0＜2.5＜5），△AME為等腰三角形．

此時M點坐標為（2.5，1.25）．

（ii）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD===．

過點M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP== = ，

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，

∴當t=2時，（0＜2＜5），此時M點坐標為（5﹣2， ）．

綜合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，

相應M點的坐標為（2.5，1.25）或（5﹣2， ）．

點睛:本題主要考查了矩形的性質,勾股定理,圖形的翻折變換,相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用等知識點,綜合性較強.