Question

【題目】如圖，已知在矩形中，，，，分別是四個內角的平分線，，相交于點，，相交于點求證：四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】見解析．

【解析】

根據矩形的性質和角平分線定義易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，則∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四邊形EMFN是矩形，然后證明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可證得結論．

證明：∵在矩形ABCD中，，，，分別是四個內角的平分線，

∴∠FDC＝∠FCD＝45°，

∴△FDC是等腰直角三角形，

同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，

∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，

∴四邊形EMFN是矩形，

在△FDC和△EAB中，，

∴△FDC≌△EAB（ASA），

∴FD＝EA，

又∵MD＝MA，

∴ME＝MF，

∴矩形EMFN是正方形．