Question

【題目】對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：

第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開；

第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點A′處，并使折痕經過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA′，EA′，展開，如圖1；

第三步：再沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，得到折痕EF，同時得到線段B′F，展開，如圖2.

求證：(1)∠ABE＝30°；

(2)四邊形BFB′E為菱形．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)30°；(2)見解析

【解析】

（1）由折疊的性質易得：∠ABE=∠A′BE，M是AB的中點，A′是EF的中點，∠EA′B=∠A=90°，由此可得BA′是EF的垂直平分線，從而可得BE=BF，由此可得∠A′BE＝∠A′BF，從而可得∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，這樣結合∠ABC=90°即可得到∠ABE＝∠ABC＝30°；

（2）由已知條件結合折疊的性質可得：BE＝B′E，BF＝B′F，這樣結合（1）中所得BE=BF即可得到四邊形BFB′E的四邊相等，由此即可得到四邊形BFB′E是菱形.

(1)∵對折使AD與BC重合，折痕是MN，

∴M是AB的中點，

∴A′是EF的中點．

∵∠BA′E＝∠A＝90°，

∴BA′垂直平分EF，

∴BE＝BF，

∴∠A′BE＝∠A′BF.

由翻折的性質，知∠ABE＝∠A′BE，

∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，

∴∠ABE＝∠ABC＝×90°＝30°；

(2)∵沿EA′所在的直線折疊，

點B落在AD上的點B′處，

∴BE＝B′E，BF＝B′F.

∵BE＝BF，

∴BE＝B′E＝B′F＝BF，

∴四邊形BFB′E為菱形．