Question

有兩張完全重合的三角形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到三角形AMF（如圖1），若此時他測得BD=8cm，
∠ADB=30°．
（1）試探究線段BD與線段MF的數量關系，并簡要說明理由；
（2）小紅與小亮同學繼續探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜
90°），當△AFK為等腰三角形時，求旋轉角β的度數；
（3）在圖2基礎上小強同學繼續探究，過點K作KC∥B₁D₁交AB₁于點C，連接CM，（如圖3）求證：△ACM∽△AKF；
（4）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖4），F₂M₂與AD交于點P，A₂M₂與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉的性質可以證明△BAD≌△MAF．就可以得出線段BD=MF的數量關系．
（2）由條件可知∠F=30°，當∠F為頂角時，可以求出∠KAF=75°，從而求出旋轉角β的度數，當∠F為底角時，可以求出∠KAF=30°，從而求出旋轉角β的度數．
（3）由條件可以證明△ACK∽△AB₁D₁，可以得出=，由AB₁=AM，AF=AD₁可以得到=．再由∠B₁AM=∠D₁AF，就可以得出△ACM∽△AKF．從而得出結論．
（4）由題意知四邊形PNA₂A為矩形，設A₂A=x，則PN=x．由條件根據勾股定理可以求出AF₂的值，AP的值，再可以得到△DNP∽△DBA，利用相似三角形的性質就可以求出A₂A的值．
解答：（1）線段BD與MF的數量關系是：BD=MF．
證明：∵△MAF是由△BAD旋轉得來的，
∴△BAD≌△MAF．
∴BD=MF．
∴BD與MF的數量關系是：BD=MF．

（2）解：當∠F為頂角時，
∴∠AKF=∠KAF，
∴∠AKF+∠KAF+∠F=180°，且∠F=30°．
∴∠KAF==75°．
∴∠MAK=15°．
即β=15°．
當∠F為底角時，
∠F=∠KAF，
∵∠F=30°．
∴∠KAF=30°．
∴∠MAK=60°，即β=60°．
綜上所述：當∠F為頂角時，β=15°．
當∠F為底角時，β=60°．

（3）證明：∵KC∥B₁D₁，
∴△ACK∽△AB₁D₁．
∴=．
∵△AB₁D₁≌△AMF，
∴AB₁=AM，AF=AD₁，
∴=．
∵∠B₁AD₁=∠MAF=90°，
∴∠B₁AM=∠D₁AF，
∴△ACM∽△AKF．

（4）解：如圖4，由題意知四邊形PNA₂A為矩形，設A₂A=x，則PN=x．
在Rt△A₂M₂F₂中，
∵M₂F₂=MF=BD=8，∠A₂F₂M₂=∠AFM=∠ADB=30°．
∴M₂A₂=4，A₂F₂=，
∴AF₂=-x．
在Rt△PAF₂中，
∵∠PF₂A=30°．
∴AP=AF₂•tan30°=（-x）•=4-x．
∴PD=AD-AP=-4+x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，
∴△DNP∽△DBA．
∴=
∴=，
解得x=6-．
即A₂A=6-．
故平移的距離是（6-）cm．
點評：本題是一道綜合性比較強的幾何綜合試題．考查了旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用．在利用相似三角形的性質時注意使用相等線段的代換．