Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發沿BC以2cm/s的速度向點C移動．設運動時間為t秒.

（1）當t＝2時，△DPQ的面積為 cm2；

（2）在運動過程中△DPQ的面積能否為26cm2？如果能，求出t的值，若不能，請說明理由；

（3）運動過程中，當 A、P、Q、D四點恰好在同一個圓上時，求t的值；

（4）運動過程中，當以Q為圓心，QP為半徑的圓，與矩形ABCD的邊共有4個交點時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）28；（2）△DPQ的面積不可能為26cm2；（3）t＝6或時A、P、Q、D四點恰好在同一個圓上；（4）當＜t＜時，⊙Q與矩形ABCD的邊共有四個交點．

【解析】

（1）根據運動速度表示出長度，然后計算出三個直角三角形面積，再由矩形面積減去三個直角三角形面積就能得到△DPQ的面積；

（2）根據（1）總得出的面積計算方式，列出關于t的方程，通過判斷方程有無解來即可判斷；

（3）△DAP是直角三角形如果它的三個頂點都在圓上，可得DP是直徑，Q也要在圓上，那么△DQP也是直角三角形，通過勾股定理用t表示出DP、PQ、DQ，再由DP=PQ+DQ列出方程求解即可；

（4）判斷出⊙Q與邊AD相切和⊙Q過D點是從有4個交點變成3個交點的時刻，再根據半徑相等列出關于t的方程求解.

由題意得AP=，BQ=

∴PB=AB-AP=6-2=4，CQ=CB-BQ=12-4=8

∴=，=，=

∴=---=72-12-8-24=28（cm2）

（2）法一：根據題意得

=

整理得

∵ b2－4ac＝－4＜0，

∴方程無實數根

∴△DPQ的面積不可能為26cm2

法二：

=

當t＝3時，△DPQ的面積有最小值為27 cm2

∴△DPQ的面積不可能為26cm2

（3）∵∠A＝90°

∴A、P、D三點在以DP為直徑的圓上

若點Q也在圓上，則∠PQD＝90°

∵PQ2＝(6－t)2＋(2t)2，DQ2＝62＋(12－2t)2，DP2＝t2＋122

當PQ2＋DQ2＝ DP2，∠PQD＝90°

∴(6－t)2＋(2t)2＋62＋(12－2t)2＝ t2＋122

解得t1＝6,t2＝

∴t＝6或時A、P、Q、D四點恰好在同一個圓上．

（4）如右圖1，

⊙Q與邊AD相切

過點Q作QE⊥AD

∵⊙Q與邊AD相切

∴QE＝QP

62＝(6－t)2＋(2t)2

解得t1＝0（舍去）,t2＝

如右圖2，

⊙Q與過點D

則QD＝QP

(6－t)2＋(2t)2＝62＋(12－2t)2

（舍去）

∴當＜t＜時，⊙Q與矩形ABCD的

邊共有四個交點．