Question

【題目】如圖1，在矩形中，BC=3，動點從出發，以每秒1個單位的速度，沿射線方向移動，作關于直線的對稱，設點的運動時間為

（1）若

①如圖2，當點B’落在AC上時，顯然△PCB’是直角三角形，求此時t的值

②是否存在異于圖2的時刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請說明理由

（2）當P點不與C點重合時，若直線PB’與直線CD相交于點M，且當t＜3時存在某一時刻有結論∠PAM=45°成立，試探究：對于t＞3的任意時刻，結論∠PAM=45°是否總是成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②t=2或t=6或t=2（2）見解析.

【解析】

(1)①先利用勾股定理求出AC長，再根據△APB≌△APB′，繼而根據全等三角形的性質推導得出∠B=∠PB′C=90°，B′C= ，再證明，根據相似三角形的性質求出PB′=2-4，由此即可求得答案；

②根據題意分三種情況，分別畫出圖形，結合圖形分別討論求解即可；

(2)如圖，根據∠PAM=45°以及翻折的性質可以證明得到△DAM≌△B′AM，從而可得AD=AB′=AB，證得四邊形ABCD是正方形，繼而根據題意畫出圖形，根據翻折的性質以及全等三角形的知識進行推導即可求得答案.

(1)①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AC=，

∵△APB≌△APB′，

∴∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=2，BP=B′P，

∴∠B=∠PB′C=90°，B′C=AC-AB′=，

又∵∠PCB′=∠ACB，

∴，

∴，

即，

∴PB′=2-4，

∴PB=2-4，

即t=2-4；

②如圖，當∠PCB′=90 °時，此時點B′落在BC上，

在Rt△AB′D中，∠D=90°，∴B′D=，

∴B′C=，

在△PCB′中，由勾股定理得：，

解得t=2；

如圖，當∠PCB′=90 °時，此時點B′在CD的延長線上，

在Rt△AB′D中，∠ADB′=90°，∴B′D=，

∴B′C=3，

在△PCB′中，由勾股定理得：，解得t=6；

當∠CPB′=90 °時，易得四邊形ABPB′為正方形，

∴BP=AB=2，

解得t=2；

綜上，t=2或t=6或t=2；

(2)如圖

∵∠PAM=45°，

∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°，

又∵翻折，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵∠ADM=∠AB′M=90°，AM=AM，

∴△DAM≌△B′AM，

∴AD=AB′=AB，

∴四邊形ABCD是正方形，

如圖，

設∠APB=x，

∴∠PAB=90°-x，

∴∠DAP=x，

∵AD=AB′，AM=AM，∠ADM=∠AB′M=90°，

∴Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL)，

∴∠B′AM=∠DAM，

∵翻折，

∴∠PAB=∠PAB′=90°-x，

∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x，

∴∠DAM=∠DAB′=45°-x，

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°.