Question

已知：如圖， AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，點D是AM上一點，聯結OD , 作BE∥OD交⊙O于點E, 聯結DE并延長交BN于點C．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AD=l，BC=4，求直徑AB的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）4．

試題分析：（1）連接OE，由OE=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OD與BE平行，得到一對同位角及一對內錯角相等，等量代換得到∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，再由OA=OE，OD=OD，利用SAS得到三角形AOD與三角形EOD全等，由全等三角形對應角相等得到∠OAD=∠OED，根據AM為圓O的切線，利用切線的性質得到∠OAD=∠OED=90°，即可得證．
（2）過點D作BC的垂線，垂足為H，由BN與圓O切線于點B，得到∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到ADHB為矩形，利用矩形的對邊相等得到BH=AD=1，AB=DH，由BC-BH求出HC的長，AD、CB、CD分別切⊙O于點A、B、E，利用切線長定理得到AD=DE=1，EC=BC=4，在直角三角形DHC中，利用勾股定理求出DH的長，即為AB的長．
試題解析：（1）如圖，連接OE，
在⊙O中，OA=OE=OB，∴∠OBE=∠OEB．
∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD．
在△AOD和△EOD中，OA＝OE，∠AOD＝∠EOD，OD＝OD，
∴△AOD≌△EOD（SAS）．∴∠OAD=∠OED．
∵AM是⊙O的切線，切點為A，∴BA⊥AM．
∴∠OAD=∠OED=90°．∴OE⊥DE．
∵OE是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．
（2）如圖，過點D作BC的垂線，垂足為H，
∵BN切⊙O于點B，∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD．∴四邊形ABHD是矩形．
∴AD=BH=1，AB=DH，∴CH=BC-BH=4-1=3．
∵AD、CB、CD分別切⊙O于點A、B、E，∴AD=ED=1，BC=CE=4．
∴DC=DE+CE=1+4=5，
在Rt△DHC中，，
∴．