Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，點D在AB邊上，CD與OB交于點E，∠ACD＝∠OBC；

（1）如圖1，求證：CD⊥AB；

（2）如圖2，當∠BAC＝∠OBC+∠BCD時，求證：BO平分∠ABC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，作OF⊥BC于點F，交CD于點G，作OH⊥CD于點H，連接FH并延長，交OB于點P，交AB邊于點M．若OF＝3，MH＝5，求AC邊的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AC＝

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角，得出∠FCB=90°，再根據“同弧所對的圓周角相等”得出∠A=∠F，再根據已知條件得∠3=90°，得CD⊥AB；
（2）延長BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根據三角形的內角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；
（3）延長BO交AC于點K，延長CD交⊙O于點N，聯結BN，由條件可得CH=NH，BF=CF，從而HF是△CBN的中位線，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根據勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=，所以可得AC=2CK，CK=BCsin∠OBC=得AC=.

解：（1）如圖1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2

延長BO交⊙O于F，連接CF．

∵BF是⊙O的直徑，∴∠FCB＝90°

∴∠1+∠F＝90°，

∵弧BC＝弧BC，

∴∠A＝∠F

又∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠A＝90°，

∴∠3＝90°，

∴CD⊥AB

（2）如圖2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4

延長BO交AC于K

∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，

∴∠A＝∠5，

∵∠A+∠2＝90°，

∴∠5+∠2＝90°，

∴∠6＝90°

∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2

∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，

∴BO平分∠ABC

（3）如圖3，延長BO交AC于點K，延長CD交⊙O于點N，聯結BN

∵OH⊥CN，OF⊥BC

∴CH＝NH，BF＝CF

∴HF是△CBN的中位線，HF∥BN

∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC

∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM

∴∠OEH＝∠EHM

設EM、OE交于點P

∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°

∴∠EOH＝∠OHP

∴OP＝PH

∵∠ADC＝∠OHC＝90°

∴AD∥OH

∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP

∴PM＝PB

∴PM+PH＝PB+OP

∴HM＝OB＝5

在Rt△OBF中，根據勾股定理可得BF＝4

∴BC＝8，sin∠OBC＝

∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°

∴∠AKB+∠CKB＝90°

∴OK⊥AC

AC＝2CK，CK＝BCsin∠OBC＝

∴AC＝