Question

（2012•工業(yè)園區(qū)一模）如圖1，A（-1，0）、B（0，2），以AB為邊作正方形ABCD，則D點的坐標（

-3

，

1

）．
（1）如圖2，如果將正方形ABCD沿AB翻折后得到正方形ABEF，拋物線y=ax²+ax+b經(jīng)過點D、F，求拋物線的解析式：
（2）如圖3，P為BD延長線上一動點，過A、B、P三點作⊙O'，連接AP，在⊙O'上另有一點Q，且AQ=AP，AQ交BD于點G，連接BQ．
下列結(jié)論：①BP+BQ的值不變；②

BQ

AQ

=

BG

AG

，是否成立，并就你的判斷加以說明．

Answer 1

分析：過點D作DM⊥x軸，則可證明△ABO≌△DAM，繼而可得出點D的坐標；
（1）作FG⊥x軸，垂足為點G，然后證明RT△ABO≌RT△AGF，從而得出點F的坐標，繼而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）連接PQ，利用圓的知識，在同圓中，等弧所對的圓周角相等，可得出∠AQP=∠ABP=45°，然后證明△APD≌△AQB，得出PD=QB，這樣可判斷出①，證明△GAP∽△QGB，得出

BQ

AP

=

BG

AG

，結(jié)合AQ=AP，可得出結(jié)論②正確．

解答：解：

過點D作DM⊥x軸，
在△ABO和△DAM中，

AB=DA ∠DAM=∠ABO ∠DMA=∠AOB

，
故△ABO≌△DAM，
故DM=AO，AM=OB，
故可得點D的坐標為（-3，1）．
（1）作FG⊥x軸，垂足為點G，在RT△ABO和RT△AGF中，AB=AF，
∵∠BAO=∠FAG=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠FAG=∠ABO，
∴RT△ABO≌RT△AGF，
∴AG=OB=2，F(xiàn)G=AO=1，
∴點F坐標為（1，-1），
又∵拋物線y=ax²+ax+b經(jīng)過點D、F，
∴

1=9a-3a+b -1=a+a+b

，
解得：

a= 1 2 b=-2

，
故所求的拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
（2）連接PQ，
易得：△APD≌△AQB，
∴∠PAQ=90°，
∴PQ為直徑
則∠AQP=∠ABP=45°，
∵AQ=AP，
∴∠APQ=∠AQP=45°，
∴∠PAQ=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠PAD+∠DAG=∠QAB+∠DAG，
∴∠PAD=∠QAB，
又∵AP=AQ，∠APD=∠AQB，
∴△APD≌△AQB，
∴PD=QB；
①BP+BQ=BD+2PD，BD是定值，PD在變化，
∴BP+BQ的值在變化，即BP+BQ不變是不成立的．
②在△GAP和△GBQ中，∵∠PGA=∠QGB，∠GPA=∠GQB，
∴△GAP∽△GBQ，
∴

BQ

AP

=

BG

AG

，
∵AQ=AP，
∴

BQ

AQ

=

BG

AG

，
∴

BQ

AQ

=

BG

AG

成立；
綜上可得只有②

BQ

AQ

=

BG

AG

成立．

點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，綜合考察了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，難度較大，注意輔助線的作出比較關(guān)鍵．