Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將△ADC沿AC折疊，點D落在點D′處，CD′與AB交于點F．
（1）求線段AF的長．
（2）求△AFC的面積．
（3）點P為線段AC（不含點A、C）上任意一點，PM⊥AB于點M，PN⊥CD′于點N，試求PM+PN的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAC，

∵矩形沿AC折疊，點D落在點E處，

∴△ACD≌△ACE，

∴∠DCA=∠ECA，

∴∠BAC=∠ECA，

∴AF=CF，

設AF=CF=x，則BF=8﹣x，

在Rt△BCF中，根據勾股定理得：BC2+BF2=CF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5；

（2）解：S△ACF= AFBC= ×5×4=10；
（3）解：連接PF，

×AF×PM+ ×CF×PN=S△ACF=10，

∴PM+PN=4．

【解析】（1）根據矩形的性質和翻折變換的性質得到AF=CF，設AF=x，根據勾股定理列出方程，解方程即可求出AF；（2）根據三角形面積公式計算即可；（3）連接PF，根據三角形的面積公式解答即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．