Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于點A（﹣2，0）和B（B在A右側），交y軸于點C，直線y=經過點B，交y軸于點D，且D為OC中點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是第一象限拋物線上的一點，過P點作PH⊥BD于H，設P點的橫坐標是t，線段PH的長度是d，求d與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當d=時，將射線PH繞著點P順時針方向旋轉45°交拋物線于點Q，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）P（，）；（3）Q（0，4）．

【解析】試題分析：(1)首先求出點B坐標,利用待定系數法即可解決問題.

(2)設P（t，﹣t2+t+4），,由cos∠HPM=cos∠DBO，可得,由此構建二次函數,利用二次函數的性質解決問題.

(3) 過點P作PF⊥x軸于點F，過點H作HG⊥PF于點G，BD與PQ交于點N,過N作NE⊥HG于E.由全等三角形△PHG≌△HNE，的性質,(2)中函數解析式求得點P、N的坐標,然后由直線與拋物線的解析式求得交點Q的坐標.

解：（1）∵y=2kx﹣12k 經過B點，

∴當y=0，x=6，

∴B（6，0），又∵A（﹣2，0），

∴，

解得，

∴y=﹣x2+x+4．

（2）如圖，過點P作PM∥y軸交BD于點M，設P（t，﹣t2+t+4），

∵CD=OD，

當x=0時y=4，

∴C（0，4）

∴OD=2，

∴D（0，2），

∴BD=2，

設直線BD解析式為y=mx+n，

∴6m+n=0，n=2，

∴yBD=﹣x+2，

∴M（t，﹣t+2），

∴PM=﹣t2+t+2，

∵∠HPM=∠DBO，

∴cos∠HPM=cos∠DBO，

∴=，

∴=，

∴d=﹣t2+t+，

∴d=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，PH值最大，

∴P（，）．

（3）過點P作PF⊥x軸于點F，過點H作HG⊥PF于點G，BD與PQ交于點N，過N作NE⊥HG于E．

∵∠HPN=45°，PH⊥BD，

∴PH=HN，

∴△PHG≌△HNE，

∴HG=NE，PG=EH，

∵由（2）知，d=﹣t2+t+，即：d=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，PH=，

∴P（，）．

當PH=時，HG=PG=，

∴EH=，EN=，

∴N（﹣，），P（，），

∴yPN=x+4，

由，

解得或，

∴Q（0，4）．