Question

【題目】問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則：AC=AB．

探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．

（1）如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為　　．

（2）如圖2，點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn)，連接AD，作等邊△ADE，且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．

（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）條件的基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論　　．

拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且B（2，0）時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由見解析；（3）ED=EB；拓展應(yīng)用：C（1，2+）．

【解析】

探究結(jié)論：（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題；

（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題；

（3）結(jié)論不變，證明方法類似；

拓展應(yīng)用：利用（2）中結(jié)論，可得CO=CB，設(shè)C（1，n），根據(jù)OC=CB=AB，構(gòu)建方程即可解決問題.

探究結(jié)論（1），如圖1中，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵AC=AB=AE=EB，

∴△ACE是等邊三角形，

∴EC=AE=EB，

故答案為：EC=EB；

（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．

理由：連接PE，

∵△ACP，△ADE都是等邊三角形，

∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，

∴∠CAD=∠PAE，

∴△CAD≌△PAE，

∴∠ACD=∠APE=90°，

∴EP⊥AB，∵PA=PB，

∴EA=EB，∵DE=AE，

∴ED=EB；

（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，同法可證：ED=EB，

故答案為：ED=EB；

拓展應(yīng)用：如圖3中，作AH⊥x軸于H，CF⊥OB于F，連接OA，

∵A（﹣，1），

∴∠AOH=30°，

由（2）可知，CO=CB，

∵CF⊥OB，

∴OF=FB=1，

∴可以假設(shè)C（1，n），

∵OC=BC=AB，

∴1+n2=1+（+2）2，

∴n=2+，

∴C（1，2+）．