Question

（2011•寧夏）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．動點M、N分別在兩腰AB、AC上（M不與A、B重合，N不與A、C重合），且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P．
（1）當MN為何值時，點P恰好落在BC上？
（2）當MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數關系式．當x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）連接AP，交MN于O，
∵將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴當MN=3時，點P恰好落在BC上；

（2）過點A作AD⊥BC于D，交MN于O，
∵MN∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=3，
∴AD=4，
∴，
∴AO=x，[來源:Z。xx。k.Com]
∴S_△AMN=MN•AO=•x•x=x²，
當AO≤AD時，
根據題意得：S_△PMN=S_△AMN，
∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為S_△AMN，
∴y=x²，
∴當AO=AD時，即MN=BC=3時，y最小，最小值為3；
當AO＞AD時，

連接AP交MN于O，
則AO⊥MN，
∵MN∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴，，
即：，，
∴AO=x，
∴，
∴EF=2x﹣6，OD=AD﹣AO=4﹣x，
∴y=S_梯形MNFE=（EF+MN）•OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）²+4，
∴當x=4時，y有最大值，最大值為4，
綜上所述：當x=4時，y的值最大，最大值是4．

解析