Question

如圖，拋物線的頂點為Q，與軸交于A(-1，0)、B(5， 0)兩點，與軸交于C點．
 
(1)直接寫出拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
(2)在該拋物線的對稱軸上求一點,使得△的周長最小.請在圖中畫出點的位置，并求點的坐標．

Answer 1

見解析

試題分析：(1)拋物線與軸交于A(-1，0)、B(5， 0)兩點,根據一元二次方程與二次函數的關系可得是的兩根,根據根與系數的關系得b=4,c=5所以,配方得出寫出頂點Q的坐標Q（2，9）.
（2）如圖，連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.因為AC長為定值，所以,要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小. 而點A關于對稱軸=1的對稱點是點B（5，0），拋物線與y軸交點C的坐標為（0，5）.

∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小. 不妨設直線BC的解析式為y=k+5,
將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，=-+5，與對稱軸的交點就是P,所以=2時，y="3" ，即點P的坐標為（2，3）.
試題解析：(1) ，
∴Q（2 ，9）.
（2）如解析圖，連接BC,交對稱軸于點P,連接AP、AC.
∵AC長為定值，∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小.
∵點A關于對稱軸=1的對稱點是點B（5，0），拋物線與y軸交點C的坐標為（0，5）.
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小.
設直線BC的解析式為y=k+5,
將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴=-+5，  
∴當=2時，y="3" ，∴點P的坐標為（2，3）.