Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)-x²+2x+3=0，解得x₁=3、x₂=-1，即點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），根據(jù)拋物線y=-x²+2x+3交y軸于點(diǎn)C，可知當(dāng)x=0時(shí)，y=3，所以C（0，3）；
（2）拋物線y=-x²+2x+3的點(diǎn)頂為M，根據(jù)頂點(diǎn)公式可知M（1，4），過點(diǎn)M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S_△BCM=S_{四邊形COBM}-S_△BOC=3．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，則0=-x²+2x+3，
∴（x-3）（x+1）=0
∴x₁=3，x₂=-1，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
又∵拋物線y=-x²+2x+3交y軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，3）．

（2）把y=-x²+2x+3配方得y=-（x-1）²+4，
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)為M，
∴M（1，4），
∴過點(diǎn)M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3，
∴S_△BCM=S_{四邊形COBM}-S_△BOC，
=S_梯形COEM+S_△BEM-S_△BOC，
=

(3+4)×1

2

+

2×4

2

-

3×3

2

，
=3．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法以及二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系．