Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點H在⊙O上，E是    的中點，過點E作EC⊥AH，交AH的延長線于點C．連結AE，過點E作EF⊥AB于點F．

小題1:（1）求證：CE是⊙O的切線；
小題2:（2）若FB=2,  tan∠CAE=，求OF的長．

Answer 1

小題1:（1）證明：連結OE．       ……………………………… 1分
∵ 點E為  的中點，
∴ ∠1=∠2． 
∵ OE=OA，
∴ ∠3=∠2．
∴ ∠3=∠1．
∴ OE∥AC．
∵ AC⊥CE，
∴ OE⊥CE．      ………………………………………… 2分
∵ 點E在⊙O上，
∴ CE是⊙O的切線．
小題2:（2）解：連結EB．
∵ AB是⊙O的直徑，
∴ ∠AED=90°．
∵ EF⊥AB于點F，
∴ ∠AFE=∠EFB=90°．
∴ ∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°．
∴ ∠2=∠4=∠1．
∵ tan∠CAE=，
∴ tan∠4 =．
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2， tan∠4 =，
∴ EF=．   ……………………………………………………………… 4分
設 OE=x，則OB= x．
∵ FB=2，
∴ OF=x-2．
∵ 在Rt△OEF中，∠EFO=90°，
∴ x²=(x-2)²+()²．
∴ x=3（負值舍去）．
∴ OF=1．

略