Question

【題目】綜合題
（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點A為OM上一點，點B為OP上一點．請你利用該圖形在ON上找一點C，使△COB≌△AOB，請在圖①畫出圖形．參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你寫出FE與FD之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，在（2）中所得結論是否仍然成立？請你直接作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①所示，△COB≌△AOB，點C即為所求．

（2）解：如圖②，在CG上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分線，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG=CD，∠DCF=∠GCF，CF=CF，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF=GF．

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= =60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

∠AFE=∠AFG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF=GF，

∴DF=EF；

（3）解：DF=EF 仍然成立．

證明：如圖③，在CG上截取AG=AE，

同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA．

又由題可知，∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）=60°，

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG，

∴FE=FD．

【解析】（1）以O為圓心，OA為半徑畫弧，交ON于點C，連接BC，利用邊角邊即可知道△COB≌△AOB。
（2）根據題意添加輔助線，在CG上截取CG=CD，根據角平分線的定義證出∠DCF=∠GCF，從而可證得△CFG≌△CFD，得出DF=GF。要證EF=FD，轉化為證EF=GF，因此需證△AFG≌△AFE，根據圖形及已知還需差一個條件。根據已知∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，易證得∠AFC=120°，即可得到∠AFE=∠AFG=60°，繼而可證明△AFG≌△AFE，即可證得結論。
（3）通過分析，結論仍然成立，添加輔助線的方法和證明方法同（2）一樣。
【考點精析】掌握角的平分線和三角形的內角和外角是解答本題的根本，需要知道從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．