Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，AD是BC邊上的高，則△ABD與△CAD的面積比為

 

．

Answer 1

分析：在直角三角形ABC中，根據已知的AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，然后根據∠BAC=90°，可得∠BAD+∠CAD=90°，再根據垂直的定義得到∠ADB=∠CDA=90°，利用三角形的內角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根據同角的余角相等得到∠B=∠CAD，利用兩對對應角相等兩三角形相似得到△ABD∽△CAD，再根據相似三角形的面積比等于相似比（對應邊的之比）的平方即可求出結果．

解答：解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，
根據勾股定理得：AC=6，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD，又∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴

S△ABD

S△CAD

=(

AB

CA

)2=(

8

6

)2=

16

9

．
故答案為：

16

9

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，證明三角形相似的方法有：（1）兩對角對應相等兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例，且夾角相等兩三角形相似；（3）三邊對應成比例兩三角形相似．另外學生還應熟練掌握，相似比即為對應邊之比，周長比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．此題要求學生注意角度之間的轉化，轉化的思想是數學中的一種重要的數學思想．