Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的分別交、于點(diǎn)、，延長(zhǎng)到點(diǎn)，連接，使．

求證：是的切線；

若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】證明見解析；長(zhǎng)為．

【解析】

（1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，證出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出結(jié)論；
（2）連接AE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，設(shè)CE長(zhǎng)為x，則EB長(zhǎng)為3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE=x，在Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

連接，如圖所示：

∵是的直徑

∴，

∵，

∴平分，即

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴是的切線；

連接，如圖所示：

∵是的直徑

∴，即為直角三角形，

∵，

設(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)為，長(zhǎng)為．

則長(zhǎng)為，

在中由勾股定理可得，

在中，，，，

由勾股定理得：，

解得：，

∵

∴，即長(zhǎng)為．