Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，點E是弧BC的中點.

(1)過點E作BC的平行線交AB的延長線于點D，求證：DE是⊙O的切線.

(2)點F是弧AC的中點，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AE，由等弦對等弧可得，進而推出，可知AE為⊙O的直徑，再由等腰三角形三線合一得到AE⊥BC，根據DE∥BC即可得DE⊥AE，即可得證；

（2）連接BE，AF，OF，OF與AC交于點H，AE與BC交于點G，利用勾股定理求出AG，然后求直徑AE，再利用垂徑定理求出HF，最后用勾股定理求AF和EF.

證明：（1）如圖，連接AE，

∵AB=AC

∴

又∵點E是弧BC的中點，即

∴，即

∴AE為⊙O的直徑，

∵

∴∠BAE=∠CAE

又∵AB=AC

∴AE⊥BC

∵DE∥BC

∴DE⊥AE

∴DE是⊙O的切線.

（2）如圖，連接BE，AF，OF，OF與AC交于點H，AE與BC交于點G，

∴∠ABE=∠AFE=90°，OF⊥AC

由（1）可知AG垂直平分BC，∴BG=BC=6

在Rt△ABG中，

∵cos∠BAE=cos∠BAG

∴，即

∴AE=

∴⊙O的直徑為，半徑為.

設HF=x，則OH=

∴在Rt△AHO中，

即，

解得

∴

∴