Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正確的結論有（　　）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

①正確．只要證明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②正確．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出=，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；

③正確．只要證明DM垂直平分CF，即可證明；

④正確．設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有 =，即b=a，可得tan∠CAD===．

如圖，過D作DM∥BE交AC于N．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB．

∵BE⊥AC于點F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴=．

∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正確；

∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF．

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有 =，即b=a，∴tan∠CAD===．故④正確．

故選A．