Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，當點E在邊BC上運動時（不與正方形的頂點重合），連接AE，過點E作EF⊥AE交CD于點F．設BE=x，CF=y，求下列問題：
（1）證明△ABE∽△ECF；
（2）求出y關于x的函數關系式；
（3）試求當x取何值時？y有最大或最小值，是多少？

Answer 1

（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴

AB

CE

=

BE

CF

∵BE=x，CF=y，正方形ABCD的邊長為1，
則CE=1-x，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=-x²+x．

（3）由（2）得y=-x²+x，
∴y=-(x-

1

2

)2+

1

4

，
∴可知拋物線的頂點為（

1

2

，

1

4

），開口向下，
∴x=

1

2

時，y_最大=

1

4

．