Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找到點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）M為（1，4）．

（2）P（1，2）．

【解析】

（1）利用B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱得出AP=BP,那么△PAC的周長(zhǎng)最小就是CPB在一條直線上，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

（1）∵ 拋物線y = －x2+bx+c 過(guò)B（3，0）C（0，3）兩點(diǎn)，

∴c=3, －9+3b+3=0，解得b=2 ．

∴ 拋物線的解析式為，

頂點(diǎn)M為（1，4）．

（2）∵ 點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴ 連結(jié)BC與拋物線對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，

∵ PH∥y軸，

∴ △PHB∽△CBO．

∴．

由題意得BH=2，CO=3，BO=3，

∴ PH=2．

∴ P（1，2）．