Question

如圖1，在△ABC中，E、D分別為AB、AC上的點，且ED∥BC，O為DC中點，連結EO并延長交BC的延長線于點F，則有S_{四邊形EBCD}=S_△EBF．

（1）如圖2，在已知銳角∠AOB內有一個定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．將直線MN繞著點P旋轉的過程中發現，當直線MN滿足某個條件時，△MON的面積存在最小值．直接寫出這個條件：

 

．
（2）如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B、C、P的坐標分別為（6，0）、（6，3）、（

9

2

，

9

2

）、（4、2），過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）當直線旋轉到點P是MN的中點時S_△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質可以得出結論；
（2）①如圖3①過點P的直線l 與四邊形OABC 的一組對邊 OC、AB分別交于點M、N，由（1）的結論知，當PM=PN時，△MND的面積最小，此時四邊形OANM的面積最大，S_{四邊形OANM}=S_△OAD-S_△MND；
②如圖3②，過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，利用S_{四邊形OCMN}=S_△OCT-S_△MNT，進而得出答案．

解答：解：（1）當直線MN旋轉到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小；
如圖2，
過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，
可以得出當P是MN的中點時S_{四邊形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當點P是MN的中點時S_△MON最小；
故答案為：當直線MN旋轉到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小；

（2）分兩種情況：
①如圖3①過點P的直線l 與四邊形OABC 的一組對邊 OC、AB分別交于點M、N．
延長OC、AB交于點D，
∵C（

9

2

，

9

2

），
∴∠COA=45°，
∴AD=6，S_△OAD=18．
由（1）的結論知，當PM=PN時，△MND的面積最小，此時四邊形OANM的面積最大．
過點P、M分別作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分別為P₁、M₁．
由題意得M₁P₁=P₁A=2，從而OM₁=MM₁=2． 又P（4，2），B（6，3）
∴P₁A=M₁P₁=O M₁=P₁P=2，M₁ M=OM=2，則四邊形MM₁P₁P是正方形．
∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S_△MND=8，
∴S_{四邊形OANM}=S_△OAD-S_△MND=18-8=10，

②如圖3②，過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N．
延長CB交x軸于T點，由B、C的坐標可得直線BC對應的函數關系式為 y=-x+9．
則T點的坐標為（9，0）．
∴S_△OCT=

1

2

×9×

9

2

=

81

4

，
由（1）的結論知：當PM=PN時，△MNT的面積最小，此時四邊形OCMN的面積最大．
過點P、M點分別作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足為P₁，M₁．
從而 NP₁=P₁M₁，MM₁=2PP₁=4．
∴點M的橫坐標為5，點P（4、2），P₁M₁=NP₁=1，TN=6．
∴S_△MNT=

1

2

×6×4=12，S_{四邊形OCMN}=S_△OCT-S_△MNT=

81

4

-12=

33

4

＜10．
綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10．

點評：此題主要考查了正方形的判定與性質以及圖形面積求法等知識，利用分類討論得出四邊形面積最值是解題關鍵．