Question

如圖，已知二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（2，-9）．
（1）求此函數的關系式；
（2）作點C關于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，F為拋物線上的一個動點，記△PEF的面積為S，問S取何值時，相應的F點有且只有3個．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中二次項系數是1，已知了它的頂點坐標，直接寫成頂點式即可．
（2）根據拋物線的對稱性知，A、B關于直線CD對稱，而C、D關于x軸對稱，顯然四邊形ACBD是個菱形，若直線PE將四邊形ACBD平分成兩個相等面積的四邊形，那么直線PE必然經過AB、CD的交點（或拋物線對稱軸與x軸的交點），可根據這個條件先求出直線PE的解析式，聯立拋物線的解析式后就能確定點E的坐標．
（3）由題意，能構成面積相同的△PEF的三角形有且只有三個，觀察圖示可以發現，在直線PE上方顯然有兩個，那么在PE下方有且只有一個點F，若過點F作直線PE的平行線，那么該直線與拋物線有且只有一個交點，即在直線PE下方的拋物線圖象上，該點到直線PE的距離最大，而PE長不變，那么此時△PEF的面積最大，即S的值最大，可過點F作y軸的平行線，交直線PE于點H，首先設出P、H的坐標，則PH的長可得，以PH為底、點E到y軸的距離為高就能得到S的函數表達式，根據函數的性質即可判斷出S的最大值．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的頂點為（2，-9），
∴二次函數的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D關于x軸對稱，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y軸；
由拋物線的對稱性知，點A、B關于直線CD對稱，則：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四邊形ACBD是菱形；
若直線PE將四邊形ACBD平分成兩個面積相等的四邊形，則直線PE必過AB、CD的交點G（2，0），
設直線PE的解析式為：y=kx+b（k≠0），將P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b=-5 2k+b=0

，
解得

k= 5 2 b=-5

．
故直線PE：y=

5

2

x-5，聯立拋物線的解析式，得：

y= 5 2 x-5 y=x2-4x-5

，
解得

x1=0 y1=-5

，

x2= 13 2 y2= 45 4

故點E的坐標（

13

2

，

45

4

）．

（3）通過圖示可以發現，
當點F在直線PE上方時，在直線PE的上方一定有兩個點F；
當點F在直線PE下方時，若相應的F點有且只有3個，那么直線PE下方的點F只有一個；過點F作PE的平行線，該直線必與拋物線有且只有一個交點，此時點F到直線PE的距離最長；
以PE為底、點F到直線PE的距離為高，此時△PEF的面積最大，即S最大（情況如右圖）；
設點F的坐標為（x，x²-4x-5），過點F作FH∥y軸，交直線PE于點H，則H（x，

5

2

x-5），則：
FH=（

5

2

x-5）-（x²-4x-5）=-x²+

13

2

x；
則S=

1

2

×

13

2

×（-x²+

13

2

x）=-

13

4

（x-

13

4

）²+

2197

64

；
綜上，當S=

2197

64

時，相應的F點有且只有三個．

點評：此題主要考查了函數解析式的確定、菱形的判定和性質、拋物線的對稱性、圖形面積的解法等綜合知識；（3）題的難度較大，將點的個數問題轉化為三角形面積的最大值問題是解答題目的關鍵所在．