Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為24厘米，∠A=60°，點P從點A出發沿線路AB→BD作勻速運動，點Q從點D同時出發沿線路DC→CB→BA作勻速運動．

（1）求BD的長；

（2）已知點P、Q運動的速度分別為4厘米/秒，5厘米/秒，經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，若按角的大小進行分類，請你確定△AMN是哪一類三角形，并說明理由；

（3）設（2）中的點P、Q分別從M、N同時沿原路返回，點P的速度不變，點Q的速度改變為a厘米/秒，經過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與（2）中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）BD=24（2）△AMN是直角三角形（3）2或6或12

【解析】試題分析：（1）根據菱形的性質證△ABD是等邊三角形即可；

（2）求出P Q走的距離，再根據等腰三角形性質即可推出答案；

（3）分為三種情況：根據相似，得到比例式，求出Q走的距離，即可求出答案．

試題解析：（1）∵菱形ABCD，

∴AB=AD，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AB=24厘米．

答：BD=24厘米．

（2）12秒時，P走了4×12=48，

∵AB+BD=24+24=48，

∴P到D點，

同理Q到AB的中點上，

∵AD=BD，

∴MN⊥AB，

∴△AMN是直角三角形．

（3）有三種情況：如圖（2）

∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=AD，

根據相似三角形性質得：BF=AN=6，

∴NB+BF=12+6=18，

∴a=18÷3=6，

同理：如圖（1）求出a=2；

如圖（3）a=12．

∴a的值是2或6或12．