Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，3），B（，0），AB =6，作∠DBO=∠ABO，點H為y軸上的點，∠CAH=∠BAO，BD交y軸于點E，直線DO交AC于點C．

（1）證明：△ABE為等邊三角形；

（2）若CD⊥AB于點F，求線段CD的長；

（3）動點P從A出發，沿A﹣O﹣B路線運動，速度為1個單位長度每秒，到B點處停止運動；動點Q從B出發，沿B﹣O﹣A路線運動，速度為2個單位長度每秒，到A點處停止運動．兩點同時開始運動，都要到達相應的終點才能停止．在某時刻，作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N．問兩動點運動多長時間時△OPM與△OQN全等？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當兩動點運動時間為、、6秒時，△OPM與△OQN全等.

【解析】

（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結論；

（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，進而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性質得到AF、OF的長．再證明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF、DF的長，進而可得出結論．

（3）設運動的時間為t秒．然后分四種情況討論：①當點P、Q分別在y軸、x軸上時，；②當點P、Q都在y軸上時，；③當點P在x軸上，Q在y軸且二者都沒有提前停止時，；④當點P在x軸上，Q在y軸且點Q提前停止時，，列方程求解即可．

（1）在△AOB與△EOB中，∵∠AOB=∠EOB，OB=OB，∠EBO=∠ABO，∴△AOB≌△EOB (ASA)，∴AO=EO=3，BE=AB=6，∴AE=BE=AB=6，∴△ABE為等邊三角形．

（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°．

∵CD⊥AB，∴∠AOF=30°，∴AF=．

在Rt△AOF中，OF=．

∵∠CAH=∠BAO =60°，∴∠CAF =60°，∠ACF=∠AOF=30°，∴AO=AC．

又∵CD⊥AB，∴CF=．

∵AB=6，AF=，∴BF=．

在Rt△BDF中，∠DBF =60°，∠D=30°，∴BD=．

由勾股定理得：∴DF=，∴CD=．

（3）設運動的時間為t秒．

①當點P、Q分別在y軸、x軸上時，，PO=QO得：，解得：（秒）；

②當點P、Q都在y軸上時，，PO=QO得：，解得（秒）；

③當點P在x軸上，Q在y軸且二者都沒有提前停止時，，則PO=QO，得：，解得：，不合題意，舍去．

④當點P在x軸上，Q在y軸且點Q提前停止時，有，解得：（秒）．

綜上所述：當兩動點運動時間為、、6秒時，△OPM與△OQN全等．