Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②DE長度的最小值為4；③四邊形CDFE的面積保持不變；④△CDE面積的最大值為8．其中正確的結論是（　　）

A.①②③B.①③C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①連接CF,構造全等三角形,證明△ADF≌△CEF即可.

②通過①可得△DFE是等腰直角三角形,則斜邊DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值.

③通過證明△ADF≌△CEF,進行等面積代換即可得出.

④通過結論③,換角度將四邊形CDFE的面積分為△CDE與△DEF,令△DEF的面積最小即可.

①連接CF．

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，

∵AD＝CE，

∴△ADF≌△CEF，

∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，

∵∠AFD+∠CFD＝90°

∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

故本選項正確；

②∵△DEF是等腰直角三角形，

∴當DE最小時，DF也最小，

即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF＝BC＝4，

∴DE＝DF＝，

故本選項錯誤；

③∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF＝S△ADF，

∴S四邊形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC

故本選項正確；

④當△CED面積最大時，由③知，此時△DEF的面積最小，此時，

S△CED＝S四邊形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，

故本選項正確；

綜上所述正確的有①③④．

故選：C．