Question

己知：如圖，⊙O與內切于點B，BC是⊙O的直徑，BC＝6，BF為的直徑，BF＝4，⊙O的弦BA交于點D，連接DF、AC、CD．(1)求證：DF∥AC；(2)當∠ABC等于多少度時，CD與相切？并證明你的結論．(3)在(2)的前提下，連接FA交CD于點E，求AF、EF的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵BC是⊙O的直徑，BF是⊙的直徑， 　　∴∠BDF＝∠BAC＝， 　　∴DF∥AC． 　　(2)當∠ABC＝時，CD與⊙相切． 　　連接，∵⊙的直徑BF＝4， 　　⊙O的直徑BC＝6， 　　∴FC＝＝2． 　　在Rt△BFD中，由BF＝4，∠ABC＝． 　　∴DF＝2，∴DF＝＝FC＝2． 　　∴為直角三角形， 　　∴＝． 　　又∵點D在⊙上， 　　∴CD與⊙相切． 　　(3)在Rt△ABC中，∠ABC＝，BC＝6，∴AC＝3，AB＝3． 　　在Rt△DBF中，∠ABC＝，BF＝4， 　　∴DF＝2，BD＝2，∴AD＝． 　　在Rt△ADF中， 　　AF＝＝． 　　∵DF∥AC，∴＝＝． 　　∴＝， 　　∴EF＝AF＝．