Question

如圖，直線y=與x軸交于點A，與y軸交于點C，以AC為直徑作⊙M，點是劣弧AO上一動點（點與不重合）．拋物線y=－經過點A、C，與x軸交于另一點B，

（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
（3）連交于點，延長至，使，試探究當點運動到何處時，直線與⊙M相切，并請說明理由．

Answer 1

（1）  B(1，0)
（2）P(-1,)
（3）當D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切．證明見解析

解析試題分析：（1）先求出A、C點坐標，再代入y=－即可求出b、c的值，從而確定拋物線的解析式，由于點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，從而可求出點B的坐標.
（2）連接BC并延長交拋物線對稱軸于一點，這一點就是點P.
（3）當D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切．
試題解析：（1）解：由 得A（-3，0），C（0， ）
將其代入拋物線解析式得： 解得：
∴
∵對稱軸是x=-1
∴由對稱性得B(1，0)
（2）解：延長BC與對稱軸的交點就是點P
由B(1，0)，C（0，）求得直線BC解析式為： 
當x=-1時，y= 
∴P(-1, )
（3）結論：當D運動到劣弧AO的中點時，直線AG與⊙M相切．
證明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，
∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，
∵點D是劣弧AO的中點，
∴弧AD=弧OD
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG為等邊三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG為⊙M的切線．
考點: 1. 二次函數綜合題；2.直線與圓的位置關系.