Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-x的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點．
（1）求k的值；
（2）如果點P在y軸上，且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A點坐標，再把A點坐標代入y=即可得到k的值；
（2）BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設P點坐標為（0，y），先根據對稱得到B點坐標為（1，-1），再根據勾股定理得到AB²=2²+2²=8，PB²=PD²+BD²=（y+1）²+1²，PA²=PC²+AC²=（y-1）²+1²，然后分類討論：當△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB²+PA²=AB²；當△APB是以PB為斜邊的直角三角形，則AB²+PA²=PB²；當△APB是以PA為斜邊的直角三角形，AB²+PB²=PA²，分別得到關于y的方程，解方程求出y的值即可得到P點坐標．
解答：解：（1）∵一次函數y=-x的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，
根據圖象可得出A點橫坐標為-1，代入一次函數解析式，
∴y=-（-1）=1，
∴A點坐標為：（-1，1），
∵反比例函數的圖象經過點A（-1，1），
∴k=-1×1=-1；

（2）作BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設P點坐標為（0，y），
∵點A與B點關于原點對稱，
∴B點坐標為（1，-1），
∴AB²=2²+2²=8，PB²=PD²+BD²=（y+1）²+1²，PA²=PC²+AC²=（y-1）²+1²，
分類：當△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB²+PA²=AB²，
∴PB²+PA²=AB²，即（y+1）²+1²+（y-1）²+1²=8，解得y=±；
當△APB是以PB為斜邊的直角三角形，
∴AB²+PA²=PB²，即（y+1）²+1²=（y-1）²+1²+8，解得y=2；
當△APB是以PA為斜邊的直角三角形，
∴AB²+PB²=PA²，即（y-1）²+1²=（y+1）²+1²+8，解得y=-2；
∴P點坐標為（0，）、（0，-）、（0，2）、（0，-2）．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標滿足兩函數的解析式．也考查了勾股定理以及分類討論思想的運用．