Question

如圖，點A、B的坐標分別為（4，0）、（0，8），點C是線段OB上一動點，點E在x軸正半軸上，四邊形OEDC是矩形，且OE=2OC．設OE=t（t＞0），矩形OEDC與△AOB重合部分的面積為S．
根據上述條件，回答下列問題：
（1）當矩形OEDC的頂點D在直線AB上時，求t的值；
（2）當t=4時，求S的值；
（3）直接寫出S與t的函數關系式（不必寫出解題過程）；
（4）若S=12，則t=

 

．

Answer 1

分析：（1）證明△BCD∽△BOA，利用線段比求出t值．
（2）當t=4時，點E與A重合，證明△CBF∽△OBA求出CF．
（3）根據t的取值范圍求出S的值．

解答：解：（1）由題意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，
∴△BCD∽△BOA，
∴

BC

BO

=

CD

OA

而CD=OE=t，BC=8-CO=8-

t

2

，OA=4，
則

8- t 2

8

=

t

4

，
解得t=

16

5

，
∴當點D在直線AB上時，t=

16

5

．（2分）

（2）當t=4時，點E與A重合，設CD與AB交于點F，
則由△CBF∽△OBA得

CF

CB

=

OA

OB

，
即

CF

8-2

=

4

8

，
解得CF=3，
∴S=

1

2

OC(OE+CF)=

1

2

×2×(3+4)=7．（3分）

（3）①當0＜t≤

16

5

時，S=

1

2

t2（1分）
②當

16

5

＜t≤4時，S=-

17

16

t2+10t-16（1分）
③當4＜t≤16時，S=-

1

16

t2+2t（1分）
分析：①當0＜t≤

16

5

時，如圖（1），
②當

16

5

＜t≤4時，如圖（2），
∵A（4，0），B（0，8），∴直線AB的解析式為y=-2x+8，
∴G(t，-2t+8)，F(4-

t

4

，

t

2

)，
∴DF=

5

4

t-4，DG=

5

2

t-8，
∴S=S矩形COED-S△DFG=t•

t

2

-

1

2

(

5

4

t-4)(

5

2

t-8)=-

17

16

t2+10t-16
③當4＜t≤16時，如圖（3）
∵CD∥OA，∴△BCF∽△BOA，∴

BC

BO

=

CF

OA

，∴

8- t 2

8

=

CF

4

，∴CF=4-

t

4

，
∴S=S△BOA-S△BCF=

1

2

×4×8-

1

2

×(4-

t

4

)(8-

t

2

)=-

1

16

t2+2t

（4）8（2分）
分析：由題意可知把S=12代入S=-

1

16

t2+2t中，-

1

16

t2+2t=12，
整理，得t²-32t+192=0，
解得t₁=8，t₂=24＞16（舍去），
∴當S=12時，t=8．

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用，相似三角形的判定以及考生的做題能力．