Question

（2009•保定二模）如圖所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒1個單位的速度移動，點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒1個單位的速度移動，點P、Q同時出發(fā)，設移動時間為t秒（t＞0）．
（1）求t為何值時，PQ∥AB；
（2）設△PCQ的面積為y，求y與t的函數關系式，并求出當t為何值時，△PCQ的面積最大，最大面積是多少；
（3）設點C關于直線PQ的對稱點為D，求t為何值時，四邊形PCQD是正方形；
（4）當得到正方形PCQD后，點P不再沿AC邊移動，但正方形PCQD沿CB邊向B點以每秒1個單位的速度移動，當點Q與點B重合時，停止移動，設運動中的正方形為MNQD，正方形MNQD與Rt△ABC重合部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用PQ∥AB，得出

PC

AC

=

CQ

CB

，進而求出t的值即可；
（2）利用y=

1

2

PC×CQ得出關于t的二次函數的解析式，進而求出最值即可；
（3）利用當PC=CQ時，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，進而得出當t=3時，將△PCQ翻折得到的四邊形PCQD是正方形；
（4）根據當t=6時，當6＜t≤9時，點D在Rt△ABC的外部，點M在Rt△ABC的內部，以及當9＜t≤12，點D，M都在Rt△ABC的外部分別求出即可．

解答：解：（1）由題意得出：CQ=t，PC=6-t，
∵PQ∥AB，
∴

PC

AC

=

CQ

CB

，
∴

6-t

6

=

t

12

，
∴t=4，

（2）∵y=

1

2

PC×CQ=-

1

2

t²+3t=-

1

2

（t-3）²+

9

2

；
當t=3時，△PCQ的面積最大，最大面積為：

9

2

；

（3）∵當PC=CQ時，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，
∴當t=3時，將△PCQ翻折得到的四邊形PCQD是正方形；

（4）①如圖1，由已知條件易知：當t=6時，正方形MNQD的頂點D到達斜邊AB的中點，
∴當3≤t≤6時，正方形MNQD在Rt△ABC的內部，此時s=9；
②如圖2，當6＜t≤9時，點D在Rt△ABC的外部，點M在Rt△ABC的內部，設正方形MNQD與
AB的兩個交點分別是E，F(xiàn)，則BQ=12-t，
由題意得出：DQ∥AC，
∴

EQ

AC

=

QB

BC

，
∴

EQ

BQ

=

1

2

，
∴EQ=6-

1

2

t，
DE=3-EQ=

1

2

t-3，
而由題意得出：DF=t-6，
∴S=9-

1

2

DE×DF=-

1

4

t²+3t；
③如圖3，當9＜t≤12，
點D，M都在Rt△ABC的外部，設正方形MNQD與AB的兩個交點為：E，F(xiàn)．
由題意得出：
BQ=12-t，
∴QE=

1

2

（12-t），
∵BN=BQ+NQ=15-t，
∴FN=

1

2

（15-t），
∴S=

1

2

（QE+FN）×3=-

3

2

t+

81

4

．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及正方形的性質，利用分類討論思想進行分析即可得出答案是解題關鍵．