Question

（2012•市中區二模）（1）已知：如圖1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：△ACE≌△BCD
（2）某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，圖2是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據∠ACB=∠DCE可得出∠BCD=∠ACE，由SAS定理可知△BCD≌△ACE；
（2）假設O為圓形截面所在圓的圓心過O作OC⊥AB于D，交AB于C，由垂徑定理可得出BD，CD的長，設半徑為xcm，在Rt△BOD利用勾股定理即可得出x的值．

解答：證明：（1）∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△BCD≌△ACE．

（2）解：假設O為圓形截面所在圓的圓心過O作OC⊥AB于D，交AB于C，
∵OC⊥AB，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×16=8cm．
由題意可知，CD=4cm．　
設半徑為xcm，則OD=（x-4）cm．
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD²+BD²=OB²，
∴（x-4）²+8²=x²．
∴x=10．即這個圓形截面的半徑為10cm．

點評：本題考查的是垂徑定理的應用，全等三角形的判定定理及勾股定理，解答此類問題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解．