Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的頂點O在AB上，OM、ON分別交CA、CB于點P、Q，∠MON繞點O任意旋轉．當

OA

OB

=

1

2

時，

OP

OQ

的值為

3

2

．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析：如圖，過點O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質就可以求出結論．

解答：解：過點O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，
∴∠OHP=∠OGQ=90°．
∵∠ACB=90°，
∴四邊形HCGO為矩形，
∴∠HOG=90°，
∴∠HOP=∠GOQ，
∴△PHO∽△QGO，
∴

OH

GO

=

OP

OQ

．
∵

OA

OB

=

1

2

，設OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，
∴AH=

1

2

x，OG=x．
在Rt△AHO中，由勾股定理，得
OH=

3

2

x，
∴

3 2 x

x

=

OP

OQ

，
∴

OP

OQ

=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用，矩形的性質，含30度角的直角三角形的性質．