Question

【題目】如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點．

（1）求證：△PCE≌△EDQ；

（2）延長PC，QD交于點R．如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

（3）如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）∠MON=135°.

【解析】解（1）證明：∵點C、D、E分別是OA，OB，AB的中點，

∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，

∴四邊形ODEC是平行四邊形，

∴∠OCE=∠ODE，

∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，

∴∠PCO=∠QDO=90°，

∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，

∵PC=AO=OC=ED，CE=OD=OB=DQ，

在△PCE與△EDQ中，，

∴△PCE≌△EDQ；

（2）如圖2，連接RO，

∵PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，

∴AP=OR=RB，

∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，

∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，

∴∠CRD=30°，

∴∠ARB=60°，

∴△ARB是等邊三角形；

(3)由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，

∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB=∠PEQ=90°，

∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD=∠ARB=45°，

∴∠MON=135°，