Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點M是邊AC上一動點（與點A、C不重合），點N在邊CB的延長線上，且AM=BN，連接MN交邊AB于點P．
（1）求證：MP=NP；
（2）若設AM=x，BP=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出它的定義域；
（3）當△BPN是等腰三角形時，求AM的長．

Answer 1

分析：（1）過點M作MD∥BC交AB于點D，求出DM=BN，證△MDP≌△NBP即可；
（2）求出AB，根據△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程

2

x+y+y=4

2

即可；
（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．

解答：（1）證明：過點M作MD∥BC交AB于點D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中

∠MDP=∠NBP ∠MPD=∠NPB DM=BN

，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=4

2

．
∵MD∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴AD=

2

x．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴

2

x+y+y=4

2

，
∴所求的函數解析式為y=-

2

2

x+2

2

，
定義域為0＜x＜4．
答：y與x之間的函數關系式為y=-

2

2

x+2

2

，它的定義域是0＜x＜4．

（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴當△BPN是等腰三角形時，只有BP=BN，即x=y．
∴x=-

2

2

x+2

2

，
解得x=4

2

-4，
∴當△BPN是等腰三角形時，AM的長為4

2

-4．
答：AM的長為4

2

-4．

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．