Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，試求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+2x+3；(2)見解析.

【解析】

(1)將B（3，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+2x+c，可以求得拋物線的解析式；

(2) 拋物線的對稱軸為直線x=1，設點Q的坐標為（1，t），利用勾股定理求出AC2、AQ2、CQ2，然后分AC為斜邊，AQ為斜邊，CQ時斜邊三種情況求解即可.

解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），

∴，得，

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形為直角三角形，

理由：∵拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，點B（3，0），點C（0，3），

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴點A的坐標為（﹣1，0），

設點Q的坐標為（1，t），則

AC2=OC2+OA2=32+12=10，

AQ2=22+t2=4+t2，

CQ2=12+（3﹣t）2=t2﹣6t+10，

當AC為斜邊時，

10=4+t2+t2﹣6t+10，

解得，t1=1或t2=2，

∴點Q的坐標為（1，1）或（1，2），

當AQ為斜邊時，

4+t2=10+t2﹣6t+10，

解得，t=，

∴點Q的坐標為（1，），

當CQ時斜邊時，

t2﹣6t+10=4+t2+10，

解得，t=，

∴點Q的坐標為（1，﹣），

由上可得，當點Q的坐標是（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）時，使得以A、C、Q為頂點的三角形為直角三角形．