Question

【題目】（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．

（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；

（2）點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，均為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）；（3）．

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；

（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60°，依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；

（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．

試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．

令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．

（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．

∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無解．

當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．

當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣4）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）．

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0），∴AN==．

將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．

過點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．