Question

【題目】如圖，線段AB＝4，M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

以點M為原點建立平面直角坐標系，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F，然后A、B的坐標可以表示出來，再根據全等三角形的判定和性質求得點C的坐標，從而可求出AC的最大值.

解：如圖所示：以點M為原點建立平面直角坐標系，

過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F．

∵AB＝4，O為AB的中點，

∴A（﹣2，0），B（2，0）．

設點P的坐標為（x，y），則x2+y2＝1．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB，

由旋轉的性質可知：PC＝PB，

在△ECP和△FPB中，

，

∴△ECP≌△FPB,

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．

∴C（x+y，y+2﹣x）．

∵AB＝4，O為AB的中點，

∴AC＝ ＝ ，

∵x2+y2＝1，

∴AC＝ ，

∵﹣1≤y≤1，

∴當y＝1時，AC有最大值，AC的最大值為．

故答案為．