Question

（2013•武侯區一模）已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊（c＞b），關于x的方程x²-2（b+c）x+2bc+a²=0有兩個相等的實數根，且∠B、∠C滿足關系式

3

sin∠B=sin∠C，△ABC的外接圓面積為64π．
（1）求a，b，c的長．
（2）若D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，點P為AB邊上的一個動點，PQ∥AC，且交BC于點Q，以PQ為一邊向點B的異側作正三角形PQH，設正三角形PQH與矩形EDAF的公共部分的面積為S，BP的長為

3

x．直接寫出S與x之間的關系．
（3）在（2）的情況下，當x=4

3

時，求S的值．

Answer 1

分析：（1）先由關于x的方程x²-2（b+c）x+2bc+a²=0有兩個相等的實數根，得出判別式△=0，化簡得出b²+c²=a²，根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠A=90°，再由

3

sin∠B=sin∠C，根據正弦定理得出

3

b=c，然后由，△ABC的外接圓面積為64π即可求出a=16，b=8，c=8

3

；
（2）分五種情況進行討論：①0≤x≤

8

3

；②

8

3

＜x≤4；③4＜x≤

16

3

；④

16

3

＜x≤6；⑤6＜x≤8；每一種情況畫出對應的圖形，再根據圖形將所求公共部分的面積寫成規則圖形的和差形式，然后計算即可；
（3）由于x=4

3

＞6，所以直接將x=4

3

代入（2）中第五種情況下S與x的關系式中，計算即可．

解答：解：（1）∵關于x的方程x²-2（b+c）x+2bc+a²=0有兩個相等的實數根，
∴△=[-2（b+c）]²-4×1×（2bc+a²）=4（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²=a²，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°．
∵

3

sin∠B=sin∠C，
∴

3

b=c，
∴4b²=a²，
∴a=2b．
∵S=π×（

a

2

）²=64π，
∴a=16，b=8，c=8

3

；

（2）在Rt△ABC中，∵∠A=90°，a=16，b=8，c=8

3

，
∴∠B=30°，∠C=60°．
在Rt△BPQ中，∵∠BPQ=90°，BP=

3

x，
∴PQ=BP•tan30°=x．
分五種情況：
①當0≤x≤

8

3

時，如圖1，S=0；
②當

8

3

＜x≤4時，如圖2，S=S_正△FGH，作正三角形PQH的高HJ，HJ交GF于I．
∵HJ=PHsin60°=

3

2

x，
∴HI=HJ+BP-BD=

3

2

x+

3

x-4

3

=

3 3

2

x-4

3

，
∴GI=

3

2

x-4，GF=2GI=3x-8，
∴S=S_正△FGH=

3

4

（3x-8）²；
③當4＜x≤

16

3

時，如圖3，S=S_△PQH-S_△MNQ．
∵PQ=x，PM=DE=

1

2

AC=4，
∴MQ=PQ-PM=x-4，
∴MN=

3

MQ=

3

（x-4），
∴S=S_△PQH-S_△MNQ=

3

4

x²-

1

2

•

3

（x-4）•（x-4）=-

3

4

x²+4

3

x-8

3

；
④當

16

3

＜x≤6時，如圖4，S=S_矩形APMF-S_△PAK-S_△NLF．
∵BP=

3

x，PM=DE=4，
∴AP=AB-BP=8

3

-

3

x，
∴S_矩形APMF=PM•AP=4（8

3

-

3

x）．
∵AK=

3

3

AP=8-x，
∴S_△PAK=

1

2

AP•AK=

1

2

（8

3

-

3

x）•（8-x）=

3

2

（8-x）²．
∵MN=

3

MQ=

3

（x-4），
∴NF=MF-MN=（8

3

-

3

x）-

3

（x-4）=12

3

-2

3

x，
∴LF=

3

3

NF=12-2x，
∴S_△NLF=

1

2

NF•LF=

1

2

（12

3

-2

3

x）•（12-2x）=

3

2

（12-2x）²．
∴S=S_矩形APMF-S_△PAK-S_△NLF
=4（8

3

-

3

x）-

3

2

（8-x）²-

3

2

（12-2x）²
=-

5 3

2

x²+28

3

x-72

3

；
⑤當6＜x≤8時，如圖5，
S=S_矩形APMF-S_△PAK=4（8

3

-

3

x）-

3

2

（8-x）²=-

3

2

x²+4

3

x；

（3）在（2）的情況下，當x=4

3

＞6時，
S=-

3

2

×（4

3

）²+4

3

×4

3

=48-24

3

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式，勾股定理的逆定理，正弦定理，三角形外接圓的性質，解直角三角形，等邊三角形、矩形的性質，圖形的面積，綜合性較強，難度較大．運用數形結合、分類討論是解題的關鍵．