Question

【題目】正方形ABCD的邊長為6cm，點E、M分別是線段BD、AD上的動點，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點N．
（1）如圖1，若點M與點D重合，求證：AF=MN；

（2）如圖2，若點M從點D出發，以1cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點E從點B出發，以 cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為t s．

①設BF=y cm，求y關于t的函數表達式；
②當BN=2AN時，連接FN，求FN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD 是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵MN⊥AF，

∴∠AHM=90°，

∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，

∴∠BAF=∠AMH，

在△AMN與△ABF中， ，

∴△AMN≌△ABF，

∴AF=MN

（2）

解：①∵AB=AD=6，

∴BD=6 ，

由題意得，DM=t，BE= t，

∴AM=6﹣t，DE=6 ﹣ t，

∵AD∥BC，

∴△ADE∽△FBE，

∴ ，即 ，

∴y= ；

②∵BN=2AN，

∴AN=2，BN=4，

由（1）證得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，

∴△ABF∽△AMN，

∴ = ，即 = ，

∴BF= ，

由①求得BF= ，

∴ = ，

∴t=2，

∴BF=3，

∴FN= =5

【解析】（1）根據四邊形的性質得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定義得到∠AHM=90°，由余角的性質得到∠BAF=∠AMH，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）①根據勾股定理得到BD=6 ，由題意得，DM=t，BE= t，求得AM=6﹣t，DE=6 ﹣ t，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；②根據已知條件得到AN=2，BN=4，根據相似三角形的性質得到BF= ，由①求得BF= ，得方程 = ，于是得到結論．
【考點精析】掌握全等三角形的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．