Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數量關系是　 　，位置關系是　 　；

（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形，證明詳見解析；（3）．

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進而判斷出BD=CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結論；

（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結論；

（3）方法1、先判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，進而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面積公式即可得出結論．

方法2、先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．

解：（1）∵點P，N是BC，CD的中點，

∴PN∥BD，PN＝BD，

∵點P，M是CD，DE的中點，

∴PM∥CE，PM＝CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，

∴PM⊥PN，

故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

由旋轉知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位線得，PN＝BD，PM＝CE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如圖2，

同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大時，△PMN的面積最大，

∴DE∥BC且DE在頂點A上面，

∴MN最大＝AM+AN，

連接AM，AN，

在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，

∴AM＝，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝，

∴MN最大＝，

∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（）2＝；

方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，

∴PM最大時，△PMN面積最大，

∴點D在BA的延長線上，

∴BD＝AB+AD＝14，

∴PM＝7，

∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．