Question

如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PD⊥OA交于點D，PE⊥OB交于點E，F是OC上除點P、O外一點，連接DF、EF，則DF與EF的關系如何？證明你的結論．

Answer 1

分析：根據角平分線的性質，得PD=PE，根據三角形的外角的性質，得∠DPF=∠EPF，再根據SAS證明△DPF≌△EPF，則DF=EF．

解答：解：DF=EF．
理由如下：∵OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PD⊥OA交于點D，PE⊥OB交于點E，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP=90°．
∵∠DPF是△ODP的外角，∠EPF是△OEP的外角
∴∠DPF=∠DOP+∠ODP，∠EPF=∠EOP+∠OEP，
∴∠DPF=∠EPF．
在△DPF與△EPF中，

PD=PE ∠DPF=∠EPF PF=PF

，
∴△DPF≌△EPF（SAS），
∴DF=EF（全等三角形的對應邊相等）．

點評：此題綜合運用了角平分線的性質、全等三角形的判定及性質．由角平分線的性質得到線段相等，是證明三角形全等的關鍵．