Question

【題目】三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它的三個角都是60°. △ABC是等邊三角形，點D在BC所在直線上運動，連接AD，在AD所在直線的右側作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分線所在直線于點E.

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，請你猜想AD與AE的大小關系，并給出證明；

（2）如圖2，當點D在線段BC的反向延長線上時，依據題意補全圖形，請問上述結論還成立嗎?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AD=AE,證明見解析；（2）成立，證明見解析.

【解析】試題分析: （1）由等邊三角形的性質得到∠B=∠ACE=60°，AB=AC，再有∠DAB=∠EAC可證明△ABD≌△ACE即可得到結論；

（2）由等邊三角形的性質得到∠ABD=∠ACE=120°，AB=AC，再有∠DAB=∠EAC可證明△ABD≌△ACE即可得到結論.

試題解析:

（1）結論：AD=AE，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACE=60°，AB=AC

∵∠DAE=60°，CE平分∠ACF，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE,

∴AD=AE；

（2）如圖所示，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABD =120°，AB=AC,

∵CF平分△ABC的外角，

∴∠ACE=120°

∴∠ABD=∠ACE

∵∠DAE=∠BAC=60°

∴∠DAB=∠EAC

∴△ABD≌△ACE,

∴AD=AE.