Question

（2012•慶元縣模擬）定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．
探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點，則可將原三分割為四個都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規則操作下去．n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數），設此時小三角形的面積為S_n．
①若△DEF的面積為1000，當n為何值時，3＜S_n＜4？
（請用計算器進行探索，要求至少寫出二次的嘗試估算過程）
②當n＞1時，請寫出一個反映S_n-1，S_n，S_n+1之間關系的等式（不必證明）

Answer 1

分析：（1）過直角頂點作斜邊的垂線即可得出兩個與原直角三角形相似的三角形．由于這兩個三角形都與原三角形共用一個銳角，又都有一個直角，因此有兩個對應角相等，因此都與原三角形相似．
（2）由圖可知，每分割一次得到的圖形的小三角形的個數都是前面一個圖形中小三角形的個數的4倍，因此當第n個圖時，如果設原三角形的面積為S，那么小三角形的面積應該是S_n=

S

4n

，
①按所求的公式進行計算，看n是多少時Sn的值在3和4之間．
②S_n=

S

4n

=

S

22n

，S_n-1=

S

4n-1

=

S

22n-2

，S_n+1=

S

4n+1

=

S

22n+2

，由此可看出S_n²=S_n-1•S_n+1

解答：解：（1）正確畫出分割線CD

（如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線．）
理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB；

（2）①△DEF 經N階分割所得的小三角形的個數為

1

4n

S_n=

1000

4n

當 n=3時，S₃=

1000

S3

≈15.62
當 n=4時，S₄=

1000

S4

≈3.91
∴當 n=4時，3＜S₄＜4
②∵S_n=

S

4n

=

S

22n

，S_n-1=

S

4n-1

=

S

22n-2

，S_n+1=

S

4n+1

=

S

22n+2

∴S

2 n

=S_n-1×S_n+1，S_n-1=4S_n+1．

點評：本題考查的是相似形的識別，關鍵要聯系實際，根據相似圖形的定義得出．要根據前面幾個簡單圖形得出一般化規律，然后用得出的規律來求解．