Question

在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．

（1）求∠BAO的度數；
（2）如圖1，P為線段AB上一點，在AP上方以AP為斜邊作等腰直角三角形APD．點Q在AD上，連結PQ，過作射線PF⊥PQ交x軸于點F，作PG⊥x軸于點G．
求證：PF＝PQ ；
（3）如圖2，E為線段AB上一點，在AE上方以AE為斜邊作等腰直角三角形AED．若P為線段EB的中點，連接PD、PO，猜想線段PD、PO有怎樣的關系？并說明理由．

Answer 1

（1）（2）證明：在等腰直角三角形APD中，，DA=DP，，∴DP⊥AD于D，由（1）可得，∴，又∵PG⊥x軸于G，∴PG = PD，∴，∴，∴，即，又∵PQ⊥PF，∴，∴，在△PGF和△PDQ中，，，，∴△PGF≌△PDQ，∴PF=PQ（3）
OP⊥DP，OP＝DP 證明：延長DP至H，使得PH=PD，∵P為BE的中點，∴PB=PE，在△PBH和△PED中，，，，∴△PBH≌△PED，∴BH=ED，∴，∴BH∥ED，在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，，∴AD=BH，，∴DE∥x軸，BH∥x軸， BH⊥y軸，∴，由（1）可得 OA=OB，在△DAO和△HBO中，，，，∴△DAO≌△HBO，∴OD=OH，∠5=∠6，∵∴，∴在等腰直角三角形△DOH中，∵DP=HP，∴OP⊥DP，，∴，∴OP=PD

試題分析：（1）
直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴A（－6，0），B（0，6），∴OA=OB，∴，在△AOB中，，∴
（2）由，DA=DP，推出DP⊥AD，再利用（1）中的結論，結合圖像，以及全等三角形的判定，可以推出，∴PF=PQ。
（3）由于PB=PE，以及全等三角形的判定定理推出△PBH≌△PED，由此可以推出BH∥ED，又因為在等腰直角三角形ADE中，AD=BH，，所以利用全等三角形的判定定理，推出△DAO≌△HBO，同時利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出OP=PD
點評：本題看似復雜，實則許多地方都用到了全等三角形的判斷，全等三角形在中考中是重點，也是難點，學生應該加強這方面的練習，做到舉一反三。