Question

【題目】如圖，已知半圓的直徑，在中，，，，半圓以的速度從左向右運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)、始終在直線上．設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng)時，半圓在的左側(cè)，．

當(dāng)為何值時，的一邊所在直線與半圓所在的圓相切？

當(dāng)的一邊所在直線與半圓所在的圓相切時，如果半圓與直線圍成的區(qū)域與三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）1s或4s或7s或16s；（2）或．

【解析】

（1）隨著半圓的運(yùn)動分四種情況：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AC與半圓相切，②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，AB與半圓相切，③當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，AC再次與半圓相切，④當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)時，AB的延長線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運(yùn)動的時間．

（2）在1中的②，③中半圓與三角形有重合部分．在②圖中重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，故可根據(jù)扇形的面積公式求解．在③圖中，所求重疊部分面積為=S△POB+S扇形DOP．

（1）①如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切，此時點(diǎn)O運(yùn)動了2cm，所求運(yùn)動時間為：t==1（s）；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F．

在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了8cm，所求運(yùn)動時間為：t==4（s）；

③如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了14cm，所求運(yùn)動時間為：t==7（s）；

④如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時，過點(diǎn)O作OQ⊥AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，所以直線AB與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了32cm，所求運(yùn)動時間為：t==16（s）．

綜上所述：t=1s或4s或7s或16s．

（2）當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有如圖②與③所示的兩種情形．

①如圖②，設(shè)OA與半圓O的交點(diǎn)為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S扇形EOM=π×62=9π（cm2）；

②如圖③，設(shè)AB與半圓O的交點(diǎn)為P，連接OP，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H．

則PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm，則OH=3cm，BH=3cm，BP=6cm，S△POB=×6×3=9（cm2），又因?yàn)椤?/span>DOP=2∠DBP=60°，所以S扇形DOP==6π（cm2），所求重疊部分面積為：S△POB+S扇形DOP=9+6π（cm2）．

綜上所述：重疊面積為或．