Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，是等邊三角形，點，分別在邊，上．若，則，，，之間的數量關系是 ；

（2）拓展探究

如圖2，是等腰三角形，，，點，分別在邊，上．若，則（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

（3）解決問題

如圖3，在中，，，點從點出發，以img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/25/16/9b7a314d/SYS202005251646204964745826_ST/SYS202005251646204964745826_ST.021.png" width="47" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />的速度沿方向勻速運動，同時點從點出發，以的速度沿方向勻速運動，當其中一個點運動至終點時，另一個點隨之停止運動．連接，在右側作，該角的另一邊交射線于點，連接．設運動時間為，當為等腰三角形時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見詳解；（3）1或2．

【解析】

（1）通過角的關系可證△ABD∽△DCE，根據相似三角形對應邊成比例可得到線段的關系；

（2）同（1）中的思路相同，通過角的關系可證△ABD∽△DCE，即可得到結論；

（3）可證△PBM∽△MCG，然后得到,用來表示線段的長，當G點在線段AC上時，若為等腰三角形時，則AP=AG，代入計算即可；當G點在CA延長線上時，若為等腰三角形時，則為等邊三角形，代入計算得到．

（1），

∵是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAD+∠ADB=180°-60°=120°，

，

∴∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴；

（2）成立，

∵，，

∴，

∴∠BAD+∠ADB=，

∵，

∴∠CDE+∠ADB=，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴；

（3）∵，，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BPM+∠PMB=180°-30°=150°，

∵，

∴∠CMG+∠PMB=180°-30°=150°，

∴∠BPM=∠CMG，

又∠B=∠C=30°，

∴△PBM∽△MCG，

∴，

由題意可知， ，即，

如圖，過點A作AH⊥BC于H，

∵，，

∴AH=2，，

∵，AH⊥BC，

∴，

∴，

∴，即，

當G點在線段AC上時，若為等腰三角形時，則AP=AG，如圖3，

此時AG=AC-CG=，

∴，解得，

當G點在CA延長線上時，若為等腰三角形時，如下圖，

此時∠PAG=180°-120°=60°，則為等邊三角形，AP=AG，

此時AG=CG-AC=，

∴，解得，

∴當為等腰三角形時，的值為1或2．