Question

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=8，如圖在OC邊上取一點D，將△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA邊上，記作E點；
（1）求點E的坐標及折痕DB的長；
（2）在x軸上取兩點M、N（點M在點N的左側(cè)），且MN=4.5，求使四邊形BDMN的周長最短的點M、點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則OE=10-6=4，即可得到E點坐標；在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可計算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理計算出BD；
（2）以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關(guān)于x軸對稱點B′，則易得到B′的坐標，D′的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，確定N點坐標，也即可得到M點坐標．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA邊E點上，
∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=6，
∴OE=10-6=4，
∴E點坐標為（4，0）；
在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，
∴x²=4²+（8-x）²，解得x=5，
在Rt△BDE中，
BD=

52+102

=5

5

；

（2）以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關(guān)于x軸對稱點B′，如圖，
∴B′的坐標為（10，-8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐標為（4.5，3），
設(shè)直線D′B′的解析式為y=kx+b，
把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得k=-2，b=12，
∴直線D′B′的解析式為y=-2x+12，
令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理以及待定系數(shù)法．